基础
完全平方
展开：(x + 3)²
① 对照 (a+b)² = a² + 2ab + b²，这里 a = x，b = 3。
② a² = x²，2ab = 2·x·3 = 6x，b² = 9。
③ 三项加起来。
答：x² + 6x + 9。
乘法公式
两个括号相乘，其实有捷径。(a+b)² 不是 a²+b²，少算了中间那两块。
这一节，你会做到
- 用面积图看懂 (a+b)² = a² + 2ab + b²，不再漏掉中间项；
- 看懂 (a+b)(a−b) = a² − b² 为什么只剩两项；
- 见到 99×101 这种数，会想到用公式巧算。
先看看，它藏在哪儿
买地、铺砖、算面积，最容易撞上它。
🏞️ 一块地
边长 (a+b) 的正方形，被分成四块，面积就是 a²+2ab+b²。
🧮 速算
99 × 101 = (100−1)(100+1) = 10000 − 1 = 9999。
📦 包装盒
长宽各加一点，用料增加的不是一点，是两块加一个角。
动手玩一玩
两个滑块，两块面积。
1
(a+b)² 为什么不是 a²+b²
边长 (a+b) 的正方形，切开以后是四块：一块 a²、两块 ab、一块 b²。 拖动滑块改变 a 和 b，四块跟着变，但拼起来永远是那个大正方形。
(3+2)² = 3² + 2×3×2 + 2²
25 = 9 + 12 + 4
2
平方差：从大正方形剪掉一块
边长 a 的正方形，右下角剪掉一个 b×b 的小正方形，剩下的一块重新拼一下， 正好是 (a+b) 长、(a−b) 宽的长方形。
(5+2)(5−2) = 5² − 2²
7 × 3 = 25 − 4
b 不能大于等于 a。否则“剪掉的部分”就把整个正方形吃掉了，比不出来。
?
小挑战：(x+3)² 展开后是什么？
别漏了中间那一项。
一句话结论
中间那项，别丢了
(a+b)² = a² + 2ab + b²；(a−b)² = a² − 2ab + b²；(a+b)(a−b) = a² − b²。 前两个叫完全平方公式，第三个叫平方差公式。
记不住就画那个正方形：两块 ab 就在中间，跑不掉。
三个最容易踩的坑：
- (a+b)² 写成 a²+b²。漏掉 2ab，这是初中代数最常见的错。
- (a−b)² 中间项符号写反。是 −2ab，不是 +2ab。
- 平方差搞颠倒。谁减谁要看清楚：是 a² − b²，不是 b² − a²。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
平方差
计算：(2a − 1)(2a + 1)
① 一个减、一个加，中间没变，是平方差。
② 把 2a 看成一个整体，1 看成另一个：(2a)² − 1²。
③ (2a)² = 4a²，1² = 1。
答：4a² − 1。
挑战
巧算
用乘法公式算：99 × 101
① 两个数都离 100 很近，写成 (100 − 1)(100 + 1)。
② 这是平方差：100² − 1²。
③ 10000 − 1 = 9999。
答：9999。
👨👩👧 家长提示
这一节的公式不难，难的是“不漏中间项”这个习惯。
为什么这一节是整册的地基
乘法公式是初中代数的“乘法口诀”。往下走，因式分解就是把它倒过来用； 再往后分式化简、一元二次方程、二次函数配方，每一步都在用它。
如果 (a+b)² 总是写成 a²+b²，后面所有需要配方的题都会崩。 所以这一节值得多练十道，练到条件反射。
怎么讲（30 秒版）
用一块方桌布举例：
“桌布边长多了 2 厘米，面积就多了两块长条，再加一个小角——不是只多那一点点。”
然后让他在实验一里拖 b，看中间那两块怎么一直存在。
孩子最常错在这四处
- (a+b)² = a²+b²。最顽固的错，要反复用面积图纠正。
- (a−b)² 中间项写成 +2ab。符号跟着括号走。
- 平方差里认错谁是一项。2a 要整体平方，得 4a²。
- 公式记混，硬算又算错。不如老老实实乘一遍再对照公式。
检查口诀
完全平方三项，中间是两倍；平方差两项，一加一减。