基础
提公因式
分解因式：6a² + 9a
① 系数 6 和 9 的最大公因数是 3。
② 两项都有 a，最低次是 a 的一次。
③ 公因式是 3a：6a² + 9a = 3a(2a + 3)。
答：3a(2a + 3)。
因式分解
上一节把括号乘开，这一节把括号收回去。方向反过来，规矩还是那几条。
这一节，你会做到
- 会提公因式，而且知道要提就提干净；
- 认得出平方差和完全平方，用公式一步到位；
- 拿到一个式子，先想“用哪种方法”，而不是上来就试。
先看看，它藏在哪儿
“把一样的东西拎出来”，生活里到处是。
🧺 分装水果
3 个苹果 + 3 个梨 = 3 × (苹果 + 梨)，3 被拎出来了。
📦 打包快递
一堆东西先按箱子装，装箱单上写“箱子 × 内容”。
➗ 约分
分数上下都有 6，约掉就是最简——这就是提公因式。
动手玩一玩
先看图，再练眼力。
1
提公因式，就是把公共的拎出来
一个高 a、宽 (m+n) 的长方形，切成两块：a×m 和 a×n。 面积 am + an，也可以写成 a × (m + n)——这就是提公因式。
a×m + a×n = a×(m+n)
3×2 + 3×3 = 3×5
2
拿到式子，先看用哪招
下面三个式子，各点一个方法试试。选错了不要紧，看它给你解释。
① 3x + 6
② x² − 16
③ x² − 6x + 9
?
小挑战：x² − 9 分解成什么？
9 是谁的平方？
一句话结论
提着走，套公式
把一个多项式化成几个整式的积，叫因式分解。两条主路：先看有没有公因式， 提干净；再看能不能套平方差或完全平方公式。
顺序很重要：先提公因式，再套公式，最后检查还能不能继续分。
三个最容易踩的坑：
- 提不干净。4x² + 8x 只提 4，漏了 x，应该提 4x。
- 平方差看错。两项都得是平方，而且一正一负，x² + 9 不能分解。
- 因式分解没分解完。分解到不能再分为止，别停在半路。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
平方差
分解因式：x² − 16
① 两项都是平方：x² = (x)²，16 = 4²。
② 中间是减号，符合平方差 a² − b² = (a+b)(a−b)。
③ 套进去：(x + 4)(x − 4)。
答：(x + 4)(x − 4)。
挑战
完全平方
分解因式：x² − 6x + 9
① 首尾都是平方：x² = (x)²，9 = 3²。
② 看中间项：−6x，是不是 −2·x·3？是的，正好两倍。
③ 符合 a² − 2ab + b² = (a−b)²。
答：(x − 3)²。
👨👩👧 家长提示
因式分解是初中代数最“吃手感”的一块，练的是眼力。
为什么这一节是整册的地基
它是乘法公式的逆运算，也是后面几乎所有代数的“拆零件”工具： 解一元二次方程要靠它，分式化简要靠它，二次函数求交点也要靠它。
而且它训练一种很关键的习惯——拿到式子先观察，再动手。 直接硬算的孩子，到了高中会被复杂的式子拖垮。
怎么讲（30 秒版）
用分东西讲：
“3 个苹果加 3 个梨，你会说成 3 个（苹果加梨）吧？式子里也一样，公共的那个先拎出来。”
然后让他在实验二里点一点，看每个式子该用哪招。
孩子最常错在这四处
- 公因式提不干净。只提系数不提字母，或者只提最低次的一部分。
- 平方差认成完全平方。两项的用平方差，三项的才看完全平方。
- 完全平方忘了验中间项。中间项必须是 2ab，差一点都不行。
- 分解完不检查。提完公因式，括号里往往还能继续分。
检查口诀
先提公因式，再看两项三项；两项找平方差，三项验中间。