基础
因式分解
解方程：x² − 5x + 6 = 0
① 找两个数：积是 6，和是 5，也就是 2 和 3。
② 写成 (x − 2)(x − 3) = 0。
③ 两个因式分别等于 0：x − 2 = 0 或 x − 3 = 0。
答：x = 2 或 x = 3。
一元二次方程
未知数带着平方，答案常常有两个。别急着算，先看它能不能“拼成一个正方形”。
这一节，你会做到
- 看懂配方法：缺的那个角补上，就成了一个正方形；
- 会用因式分解：找两个数，积是常数项、和是一次项系数；
- 记住一件事：二次方程通常有两个根，别只写一个。
先看看，它藏在哪儿
一出现“平方”，问题常常就有两个答案。
🌾 一块地
长比宽多 2 米，面积 15 平方米，宽是多少？
🏀 投篮
球飞出去的路线是抛物线，落地那一刻就在解一个二次方程。
💰 定价
涨价会少卖，降价会多卖，利润最高点要解方程才找得到。
动手玩一玩
先拼图，再拆括号。
1
配方法：把缺的角补上
x² 加两条 bx 的长条，拼出来是个缺角的图形。补上那个 b×b 的小方块， 它就成了一个正方形，边长正好是 (x+b)。
x² + 2·3x + 3² = (x+3)²
补上那个角，就拼成了正方形
2
因式分解：找两个数
方程 x² − 5x + 6 = 0，只要找到两个数：积是 6、和是 5， 就能写成 (x − 2)(x − 3) = 0。拖动滑块找找看。
p × q = 4
p + q = 5
还没对上：要积 6、和 5
?
小挑战：x² = 9，x 等于几？
开平方的时候，别忘了负数那一半。
一句话结论
先配方，再拆括号，最后别忘了两个根
一元二次方程的一般形式是 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。常用解法：直接开平方、配方法、 公式法、因式分解法。解出来的根通常有两个。
因式分解的关键：找两个数，乘积等于常数项，和等于一次项系数。
三个最容易踩的坑：
- 两边同时除以 x。这一除就丢了一个根 x = 0。
- 只写一个根。二次方程通常两个根，都要写出来。
- 开平方只取正。x² = 9，x = ±3，别只写 3。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
直接开平方
解方程：2x² − 8 = 0
① 移项：2x² = 8。
② 两边除以 2：x² = 4。
③ 开平方要取正负：x = ±2。
答：x = 2 或 x = −2。
挑战
一正一负
解方程：x² + 2x − 3 = 0
① 找两个数：积是 −3，和是 2。
② 一正一负，试 3 和 −1：积 −3，和 2，正好。
③ 写成 (x + 3)(x − 1) = 0。
答：x = −3 或 x = 1。
👨👩👧 家长提示
这一节是初中代数的收口，也是九年级第一个“坎”。
为什么这一节是整册的地基
一元二次方程是初中代数的最后一块积木：前面学的整式、因式分解、二次根式， 到这里全部用上。往后二次函数的交点、圆里的线段计算、相似中的比例， 列出来的常常就是二次方程。
更关键的是“两个根”这个观念。孩子第一次遇到答案不唯一， 必须按题目的实际意义取舍（长度不能是负的）——这是数学和现实接轨的地方。
怎么讲（30 秒版）
用“补角”的拼图讲配方：
“这块地缺一个角，补上同样的角，它就变成正方形了——边长你能看出来，面积也就知道了。”
然后在实验二里让他拖 p、q，自己找到“积 6、和 5”的那一对。
孩子最常错在这四处
- 两边同除 x。把 x = 0 这个根弄丢了。
- 只写一个根。养成习惯：写完问一句“还有吗”。
- 开平方只取正。x² = 9 要写 ±3。
- 实际问题不检验。算出负数长度、负人数，要舍掉。
检查口诀
积是常数项，和是一次项；两个根都要，代回去验。