基础
求斜边
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求斜边 AB 的长。
① 先找直角：∠C = 90°，所以 ∠C 所对的 AB 就是斜边。
② 代入勾股定理：AB² = AC² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25。
③ 开平方：AB = √25 = 5（边长取正值）。
答：AB = 5。
勾股定理
直角三角形三条边上，藏着三块正方形。它们的面积之间，有一个两千多年前就被发现的秘密。
这一节，你会做到
- 亲手拖出“两条直角边的平方和等于斜边的平方”；
- 用赵爽弦图，把这条定理拼给自己看；
- 分清斜边和直角边，能算长度、也能解决梯子、旗杆这类实际问题。
先看看，它藏在哪儿
这三个场景里，都藏着同一个直角三角形。
🏠 盖房子放线
工人师傅拉一根绳子，量出 3 米、4 米、5 米，就能确定一个漂亮的直角。
📺 电视的“55 英寸”
说的是屏幕对角线的长度，可不是长或宽。
🪜 梯子能爬多高
知道梯子长度和底端离墙的距离，顶端高度就能算出来。
动手玩一玩
别急着看结论，先自己试。拖动、点击、旋转，答案会自己浮出来。
1
三块正方形，比一比面积
在直角三角形的每条边上，各画一个正方形。拖动滑块改变两条直角边，盯住最下面三个数字。
a² = 9
b² = 16
a² + b² = 25
c² = 25 ✔
发现了吗？不管 a、b 怎么变，a² + b² 永远等于 c²。这不是巧合，这就是勾股定理。
2
拼一拼：赵爽弦图
拿 4 个一模一样的直角三角形，拼进一个边长 (a+b) 的大正方形。中间空出来的那块，边长正好是 c。
大正方形面积 = (a+b)² = 49
4 个三角形 = 24
中间小正方形 = c² = 25
算两遍同一个大正方形：
一边算：(a+b)² = a² + 2ab + b²
另一边算：4 个三角形 + 中间正方形 = 2ab + c²
两式相等 → a² + b² = c²。
这就是三国时期数学家赵爽，用一张“弦图”给出的证明。
一边算：(a+b)² = a² + 2ab + b²
另一边算：4 个三角形 + 中间正方形 = 2ab + c²
两式相等 → a² + b² = c²。
这就是三国时期数学家赵爽，用一张“弦图”给出的证明。
3
转一转：立体地看三块正方形
用手指（或鼠标）拖动图形，从不同角度看看这三块正方形是怎么贴在三角形三条边上的。
拖动旋转视角
a = 3，b = 4，c = 5
9 + 16 = 25
一句话结论
a² + b² = c²
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
我国古代把较短的直角边叫“勾”，较长的叫“股”，斜边叫“弦” —— 所以它叫「勾股定理」。西方称毕达哥拉斯定理。
三个最容易踩的坑：
- 它只在直角三角形里成立。看到三角形，先找直角。
- c 一定是斜边——直角所对的那条边，也是最长的那条。
- 求直角边时要用减法：a² = c² − b²，别和加法记混。
顺手记几个常用的「勾股数」（整数解）
3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
6, 8, 10
9, 12, 15
小技巧：把 3, 4, 5 同时乘以 2、3、4…… 得到的还是勾股数。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
求直角边
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 5，求 BC 的长。
① 直角在 C，所以斜边是 AB = 13。
② 这次求的是直角边，要用减法：BC² = AB² − AC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144。
③ 开平方：BC = √144 = 12。
答：BC = 12。（这就是 5、12、13 这组勾股数）
挑战
梯子问题
一架长 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙 0.7 m。 梯子顶端离地面有多高？
① 画图：墙、地面、梯子围成一个直角三角形，直角在墙角。
② 找三边：斜边是梯子长 2.5 m；一条直角边是底端到墙的距离 0.7 m；要求的是另一条直角边 h。
③ 代入：h² + 0.7² = 2.5²。
④ 计算：h² = 6.25 − 0.49 = 5.76。
⑤ 开平方：h = √5.76 = 2.4。
答：梯子顶端离地面 2.4 m。
💡 想一想：如果梯子底端向外滑到 1.5 m 处，顶端会降到多高？（提示：h = √(6.25 − 2.25)）
👨👩👧 家长提示
这一节不需要您会讲课，只需要陪孩子玩 10 分钟。
怎么讲（30 秒版）
别一上来就背公式。先让孩子在纸上画一个直角三角形，用手指点出两条直角边和斜边；再告诉他一句话——
“斜边上那个正方形的面积，正好等于另外两个正方形面积加起来。”
然后让他自己拖动上面的滑块。看着数字变，比讲十遍都管用。
孩子最常错在这四处
- 斜边认错。斜边是直角对面的那条边，一定最长。别凭“看着像”去挑。
- 求直角边忘了减法。求斜边用加，求直角边用减。
- 开方算错。√144 = 12，不是 72；√5.76 = 2.4，不是 2.88。
- 单位不统一。米和厘米混在一起直接代，答案必错。
检查口诀
算完把三条边代回 a² + b² = c² 验一遍，对上了再写答案。