基础
判断位置关系
⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 l 的距离为 5。判断直线 l 与 ⊙O 的位置关系。
① 已知 r = 3，d = 5。
② 比较：d = 5 > r = 3。
③ d > r 时，直线与圆没有公共点。
答：直线 l 与 ⊙O 相离。
圆与切线
一条直线慢慢靠近圆，会在某一刻“擦”过它——那一刻叫相切。 判断什么时候相切，只看两个数：圆心到直线的距离 d，和半径 r。
这一节，你会做到
- 用 d 和 r 判断直线与圆的三种位置关系；
- 看懂相切时，半径与切线互相垂直；
- 会用勾股定理算切线长。
先看看，它藏在哪儿
“相切”其实天天都在你眼前。
🛞 车轮与地面
车轮和地面只接触一个点，这就是相切。
🌅 太阳与地平线
日出那一刻，太阳和地平线正好相切。
📏 尺子贴圆边
用尺子去贴圆边，贴住不进去的那一刻，就是切线。
动手玩一玩
把直线慢慢往上推，看它和圆的关系怎么变。
1
推一推：相离、相切、相交
圆心 O 到直线 l 的距离记作 d，圆的半径记作 r。 拖动 d，让直线从远处靠近圆，看三种关系怎么切换。
相切
d = 3
r = 3
d = r
相切的那一刻：把 d 调到正好等于 r，你会看到半径 OA 和直线 l
之间出现一个直角。这就是切线最重要的性质——切线垂直于过切点的半径。
一句话结论
比一比 d 和 r
d > r 相离（0 个公共点）；d = r 相切（1 个公共点）；d < r 相交（2 个公共点）。
切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
三个最容易踩的坑：
- 把 d 量错。d 是圆心到直线的距离，不是圆上某点到直线的距离。
- 相切时忘了垂直。切点处的半径一定垂直于切线，这是列方程的关键。
- 算切线长不用勾股。OP、OA、PA 构成直角三角形，直接用勾股定理。
练一练
三道题，由易到难。先自己动笔，再点「下一步」看解法。
提升
切线长与勾股
PA 切 ⊙O 于点 A，OA = 6，PA = 8。求 OP 的长。
① 因为 PA 是切线，A 是切点，所以 OA ⊥ PA。
② 于是 △OAP 是直角三角形，∠OAP = 90°。
③ 由勾股定理：OP² = OA² + PA² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100。
④ 所以 OP = 10。
答：OP = 10。
挑战
已知切线长求距离
⊙O 的半径为 5，直线 l 与 ⊙O 相切于点 A。点 P 在 l 上，且 PA = 12。求 OP 的长。
① 切点是 A，所以 OA ⊥ l，即 OA ⊥ PA。
② △OAP 是直角三角形，OA = 5，PA = 12。
③ 由勾股定理：OP² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。
④ 所以 OP = 13。
答：OP = 13。（5、12、13 是一组勾股数）
👨👩👧 家长提示
这一节把“圆”和“勾股定理”接上了，是九年级的重要枢纽。
怎么讲（30 秒版）
拿一枚硬币在桌面上慢慢推向桌沿：
“还没碰到，是相离；刚好碰到，是相切；压过去，就是相交。”
再让孩子把 d 拖到和 r 一样大，看那个直角出现。
孩子最常错在这三处
- d 找错。一定是圆心到直线的垂线段长度。
- 相切不会用垂直。看到“切线”两个字，先标直角。
- 勾股算错。确认哪条是斜边：OP 是斜边，OA 和 PA 是直角边。
检查口诀
远相离、等相切、近相交；切线垂直半径，勾股算长度。